Đáp án: \(2\sqrt{15}\)

Hướng dẫn giải:

Theo định nghĩa elip, tổng khoảng cách từ một điểm \(M\) nằm trên elip đến hai tiêu điểm \(F_1, F_2\) luôn bằng độ dài trục lớn \(2a\).

Từ phương trình \((E)\), ta có: \(a^2 = 15 \Rightarrow a = \sqrt{15}\).

Vậy tổng khoảng cách \(MF_1 + MF_2 = 2a = 2\sqrt{15}\).

Đáp án: 0

Hướng dẫn giải:

Vectơ pháp tuyến của \(\Delta_1\) là \(\vec{n_1} = (m; 1)\).

Vectơ pháp tuyến của \(\Delta_2\) là \(\vec{n_2} = (m - 1; m + 1)\).

Để \(\Delta_1 \perp \Delta_2\) thì \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\):

\(m(m - 1) + 1(m + 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow m^2 - m + m + 1 = 0 \Leftrightarrow m^2 + 1 = 0\) (Vô nghiệm).

Đáp án: -1

Hướng dẫn giải:

Để tính tổng các hệ số trong khai triển của một đa thức, phương pháp nhanh nhất là thay tất cả các biến số bằng 1.

Thay \(x = 1\) vào biểu thức \((1 - 2x)^5\), ta có:

\(S = (1 - 2 \cdot 1)^5 = (1 - 2)^5 = (-1)^5 = -1\).

Vậy tổng các hệ số của khai triển là \(-1\).

Đáp án: 420

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}\) với \(a, b, c, d \in A\), \(a \neq 0\) và \(d \in \{0; 2; 4; 6\}\).

TH1: \(d = 0\) (1 cách chọn). Chọn 3 số trong 6 số còn lại xếp vào \(a, b, c\): có \(A_6^3 = 120\) cách.

TH2: \(d \in \{2; 4; 6\}\) (3 cách chọn).
- Chọn \(a \neq 0\) và \(a \neq d\): có 5 cách chọn.
- Chọn \(b, c\) từ 5 số còn lại: có \(A_5^2 = 20\) cách.
Vậy có: \(3 \times 5 \times 20 = 300\) cách.

Tổng cộng: \(120 + 300 = 420\) số.

Đáp án: \(x - 2y + 1 = 0\)

Hướng dẫn giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(PQ\) là \(\vec{PQ} = (-4; -2)\). Suy ra một vectơ chỉ phương gọn hơn là \(\vec{u} = (2; 1)\).

Vì đường thẳng cần tìm song song với \(PQ\) nên nó nhận \(\vec{n} = (1; -2)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng đi qua \(A(3; 2)\) có dạng:

\(1(x - 3) - 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0\).

Đáp án: \(\frac{107}{111}\)

Hướng dẫn giải:

Tổng số điểm là: \(1 + 3 + 12 + 20 = 36\) điểm.

Số cách chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ 36 điểm là: \(n(\Omega) = C_{36}^3 = 7140\).

Để 3 điểm chọn ra không tạo thành tam giác, thì 3 điểm đó phải thẳng hàng (cùng nằm trên một cạnh của tứ giác):

• Cạnh \(AB\): có 1 điểm (không thể chọn 3 điểm).
• Cạnh \(BC\): có 3 điểm \(\Rightarrow C_3^3 = 1\) cách.
• Cạnh \(CD\): có 12 điểm \(\Rightarrow C_{12}^3 = 220\) cách.
• Cạnh \(DA\): có 20 điểm \(\Rightarrow C_{20}^3 = 1140\) cách.

Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là: \(1 + 220 + 1140 = 1361\).

Số cách chọn 3 điểm tạo thành tam giác là: \(7140 - 1361 = 5779\).

Xác suất cần tìm: \(P = \frac{5779}{7140} = \frac{107}{111}\).

Đáp án: 686

Hướng dẫn giải:

Để số bóng loại I nhiều hơn số bóng loại II khi lấy 5 bóng, ta có các trường hợp sau:

• TH1: 3 bóng loại I, 2 bóng loại II
  Số cách chọn: \(C_6^3 \cdot C_8^2 = 20 \cdot 28 = 560\)
• TH2: 4 bóng loại I, 1 bóng loại II
  Số cách chọn: \(C_6^4 \cdot C_8^1 = 15 \cdot 8 = 120\)
• TH3: 5 bóng loại I, 0 bóng loại II
  Số cách chọn: \(C_6^5 \cdot C_8^0 = 6 \cdot 1 = 6\)

Tổng số khả năng: \(560 + 120 + 6 = 686\).